算法报告一 矩阵链乘

一、题意

给定n个矩阵,问如何加括号使总的计算次数最少?
输入
给的是长度为n+1的序列$a_{1:(n+1)}$。
即矩阵$A_i$的行数为$a_i$,列数为$a_{i+1}$
输出
总的计算次数和加括号的方案。

二、分析

   n的范围很小只有20,所以严格来说哪怕dp开四五维在时间上都是可以的,但没必要,这是非常经典的一道区间dp,只需开两维。

dp[i][j] : 第i个矩阵到第j个矩阵 矩阵链乘的最小值。
那么i~j这个区间可以从两个更小的区间转移而来。

需要注意一下
前一区间的尾部的列就等于后一区间尾的行
所以在合并区间的时候要
前一区间头的行×(前一区间尾的列/后一区间尾的行)×后一区间尾的列

若i!=j $dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1])$
若i==j $dp[i][j]=0$

推出dp转移方程后,另一个难点是要输出解决方案。
要记录当前区间 a[i:j] 的最小链乘值是从哪两个小区间合并而来。
另开一个数组pre[i][j] 来记录k。
在输出时只要以k为分割点递归调用,就可以输出方案了。

三、ac代码:

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
#define clr(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define pb(x) push_back(x)
#define X first
#define Y second
#define fastin                    \
    ios_base::sync_with_stdio(0); \
    cin.tie(0);
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef unsigned long long ull;
const int mod=1e9+7;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int dp[30][30];
int a[30];
int pre[30][30];
int n;
int dfs(int l,int r)  //第l个到第r个范围内的答案
{
    if(dp[l][r])
        return dp[l][r];
    if(r-l <1) return 0;
    int &ans=dp[l][r]; ans=INF;
    for(int i=l; i<r; i++)
        if(ans>dfs(l,i)+dfs(i+1,r)+a[i+1]*a[l]*a[r+1])
            ans = dfs(l,i)+dfs(i+1,r)+a[i+1]*a[l]*a[r+1],
            pre[l][r] = i;
    return ans;
}
void print_ans(int l,int r){
    if(r==l) printf("A%d",l);
    else {
        int flag=(l!=1||r!=n);
        if(flag) printf("(");
        print_ans(l,pre[l][r]);
        print_ans(pre[l][r]+1,r);
        if(flag) printf(")");
    }
}

int main()
{
    int cas=0;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        clr(dp,0);
        for(int i=1; i<=n+1; i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        printf("Case %d\n%d ",++cas,dfs(1,n));
        print_ans(1,n);
        printf("\n");

    }
    return 0;
}

四、体会

   这次的题目还算简单,dp方程很明显,不过需要处理的是输入和输出解决方案,就是在dp中要记录路径,才能转移到要求的区间。这题用了记忆化搜索的dp写法,在边界的判断上有点不够舒服,改了好久。

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